单边变换和双边变换本质上没有太大的区别如果信号的频率范围是有限的实际上单边变换和双边变换的效果是一样的只是双边变换的频谱幅值是单边变换的两倍而已但是并不会引起频谱分析的失真。这也就是为什么cos(w0t)的傅里叶变换是 pi*δ(w-w0)pi*δ(ww0) 因为傅里叶变换是无限个周期的叠加所以幅度是无限的也就是冲激信号而傅里叶级数由于只求解一个周期所以幅度是有限的。而且无论是单边还是双边傅里叶变换在实际工程的频域分析上没有什么意义离散傅里叶变换才有实际意义而离散傅里叶变换选取的点数实际上就是将时域信号进行了截断如果选取的点数的分辨率大于最小频率而采样率大于两倍的最大频率对于频域分析来说就是足够的。教材中总是会说单边拉普拉斯变换会考虑系统的初值可以用来求解系统的全响应。这当然是没错的但是考虑系统的初值不是拉普拉斯变换的特性而是单边变换的特性。但是拉普拉斯变换的适用的信号范围更广所以一般都使用单边拉普拉斯变换求解系统的全响应。对于单边变换而言这个考虑系统的初值的特性是由微分特性带来的。由于单边变换只取信号零负时刻之后的值在零时刻之前的信号都为0。因此若信号在0时刻的值不为0则在零时刻有一个跳变则此时导数的值就是一个冲激信号此时求单边拉变换时就需要考虑这个冲激信号具体的我们用单边拉普拉斯变换的公式来推导一下首先不考虑微分特性只考虑原信号的单边拉普拉斯变换为由于这是原信号原信号其实在零时刻也存在跳变但是积分时可以当作是连续的下限为0对于原信号而言零负时刻是为0的此时积分不需要考虑零负时刻的值即可以写为下面的形式​​​​​​​ ​​​​​​​ ​​​​​​​ ​​​​​​​但是微分特性有点区别零时刻的导数为f(0)(f(0-)-f(0))/dt若零时刻原信号有跳变则导数在零时刻也会有跳变。而在零时刻之后其导数可以直接按照原函数来求解。这么说很抽象其实可以这样来理解就是原函数在零负时刻本来可能是不为0的但是单边变换把原信号切断了导致其零时刻的导数值有一个不同于零正时刻之后的特性。此时相当于就需要把导数分段零时刻有一个特殊的导数值即f(0)δ(0)。因此微分信号的单边拉普拉斯变换为根据分部积分法可得:最后再将两者合并得​​​​​​​这里和教材里的sF(s)-f(0-)的性质不一样是因为此时考虑的是零状态响应的部分。而全响应还需要考虑零输入响应而零输入响应在零时刻并未被切断因此步不需要对零输入响应的导数进行分段所以零输入响应对应的拉普拉斯变换就是由于微分性质要求信号是可导的则零输入响应这里的取零负和零时刻其实本质上是等价的严谨的角度来说应该就是用零时刻但此时如果用零时刻还会包含零状态响应在零时刻的响应所以干脆用零负时刻 此外积分下限用作零负时刻可以很好的表达需要包含零时刻这个值。把零输入响应和零状态响应两者结合起来就可以得到单板拉普拉斯变换的微分性质。这也就是单边拉普拉斯变换求解微分方程时f(0-)被直接当作零输入响应的原因因为f(0-)全都是由零输入响应贡献的。其实也不用这么复杂直接利用分部积分法可以直接推导出拉普拉斯变换的微分特性很明显傅里叶变换也可以有类似的单边微分性质但是要求 t趋于无穷时f(t) - 0;​​​​​​​