设 x_n 是一个定义在整数指标上的未知序列F 是一个给定的函数。若方程 F(n, x_n, x_{n1}, ..., x_{nk})0 对某个整数范围内的所有 n 都成立则称该方程为差分方程。其中n 是离散自变量x_n, x_{n1}, ..., x_{nk} 是未知序列在若干相邻指标上的值k 是固定的非负整数。若 k1并且方程中确实出现了 x_{nk} 与 x_n则称该差分方程的阶数为 k。若可以从上述方程中解出最高下标项写成 x_{nk}f(n, x_n, x_{n1}, ..., x_{nk-1})则称为显式差分方程也称为递推关系。一个 k 阶显式差分方程需要 k 个初始条件 x_0c_0, x_1c_1, ..., x_{k-1}c_{k-1} 才能唯一确定满足方程的序列若不能或不便解出最高下标项而保持 F(n, x_n, x_{n1}, ..., x_{nk})0 的形式则称为隐式差分方程。若差分方程可以写成 a_k(n)x_{nk}a_{k-1}(n)x_{nk-1}...a_1(n)x_{n1}a_0(n)x_ng(n)其中 a_0(n), a_1(n), ..., a_k(n) 和 g(n) 都是只依赖于 n 的已知函数且 a_k(n) 不恒为零未知项 x_{nj} 都只以一次方出现并且没有未知项之间的乘积则称它为k 阶线性差分方程。若 g(n) 恒为零则称为齐次线性差分方程否则称为非齐次线性差分方程。若引入前向差分算子 Δx_nx_{n1}-x_n 以及高阶差分 Δ^k x_nΔ^{k-1}x_{n1}-Δ^{k-1}x_n则差分方程也可以写成 G(n, x_n, Δx_n, Δ^2 x_n, ..., Δ^k x_n)0这种形式与 F(n, x_n, x_{n1}, ..., x_{nk})0 等价。