x,y≥0x, y\ge 0x,y≥0, 证明:1(1x)21(1y)2≥11xy \frac{1}{(1x)^2} \frac{1}{(1y)^2} \ge \frac{1}{1xy}(1x)21​(1y)21​≥1xy1​证明: 作左边与右边的差, 只需证明:Δ1(1x)21(1y)2−11xy≥0 \Delta \frac{1}{(1x)^2} \frac{1}{(1y)^2} - \frac{1}{1xy}\ge 0Δ(1x)21​(1y)21​−1xy1​≥01(1x)21(1y)2−11xy(1xy)[(1x)2(1y)2]−(1x)2(1y)2(1x)2(1y)2(1xy) \frac{1}{(1x)^2} \frac{1}{(1y)^2} - \frac{1}{1xy}\frac{(1xy)[(1x)^2(1y)^2]-(1x)^2(1y)^2}{(1x)^2(1y)^2(1xy)}(1x)21​(1y)21​−1xy1​(1x)2(1y)2(1xy)(1xy)[(1x)2(1y)2]−(1x)2(1y)2​(1xy)[(1x)2(1y)2]−(1x)2(1y)2(1xy)(22(xy)(x2y2))−(1(xy)xy)21(x2y2)xy−x2y2−2xyxy(x−y)2(xy−1)2≥0 \begin{align} (1xy)[(1x)^2(1y)^2]-(1x)^2(1y)^2\\ (1xy)(22(xy)(x^2y^2))-(1(xy)xy)^2\\1(x^2y^2)xy-x^2y^2-2xy\\xy(x-y)^2(xy-1)^2 \ge 0 \end{align}​(1xy)[(1x)2(1y)2]−(1x)2(1y)2(1xy)(22(xy)(x2y2))−(1(xy)xy)21(x2y2)xy−x2y2−2xyxy(x−y)2(xy−1)2≥0​​所以Δ≥0\Delta \ge 0Δ≥0.证毕.《116个不等式》入门篇第19题