目录定义矢量相关表示矢量运算矢标运算矢量的加/减法矢量的点积矢量的叉积三矢量的混合积坐标表示定义矢量即有大小和方向的量一阶张量。与其对应的标量即只有大小的量零阶张量。矢量相关表示矢量矢量的模矢量的坐标表示(坐标表示)矢量运算矢标运算矢量和标量之间只能做乘除法不能做加减法。矢量和标量相乘只需要矢量的每个分量和标量相乘即可而矢量除以标量相当于乘以标量的倒数。演示https://www.desmos.com/geometry/idkdywljzp从几何意义来看矢量乘以一个正标量k相当于将矢量扩大了k倍方向不变而乘以一个负标量矢量不仅扩大了|k|倍方向也会取反。矢矢运算矢量的加/减法两个矢量相加减只需要将每个矢量的对应分量相加减即可最后的结果是得到一个新矢量。演示https://www.desmos.com/geometry/grwzpgrugm矢量的加减法它表达的是偏移的几何意义。以加法为例矢量a 矢量b它表示的是一个点从a的起始位置出发便偏移了a接着又偏移了b就等同于进行了一个ab的位移。这里的矢量a、b它们的首尾是相连的。如果a、b首尾不相连就变成了减法a-b表示的是a相对于b的偏移。矢量的点积矢量之间也可以进行乘法通常有两种类型点积和叉积。先来说说点积。矢量的点积有两种公式第一种是矢量之间对应分量的乘积之和也就是从公式可以看出点积是满足乘法交换律的也就是a*b b*a。点积可以用来判断两个矢量之间的方向夹角关系。如果 a * b 0,说明a和b是锐角关系如果 a * b 0,说明a和b是直角关系如果 a * b 0,说明a和b是钝角关系在游戏编程中也通常使用点积来计算投影这和求矢量方向夹角是同一个道理。演示https://www.desmos.com/calculator/tf3lylcz95另外点积可以和标量进行乘法运算并且符合乘法的结合律。点积还可以结合矢量加法做运算相当于求点积之和。一个矢量和本身进行点积结果是这个矢量模的平方。这里有说到矢量的模它的求法等于矢量各分量的平方和开根号即另外模为1的矢量被称为单位矢量也叫做归一化矢量。矢量的第二种公式是矢量的叉积矢量的另一种乘法运算叫做叉积和点积不同的是叉积的结果仍然是一个矢量而非标量。演示https://www.desmos.com/3d/limzqupbwt两个矢量的叉积用a X b来表示这个x号不同于数学的乘号这点不要混淆。叉积计算也有两种公式第一种是叉积不满足交换律即 a X b ≠ b X a但它满足反交换律即a X b -( b X a)叉积也不满足结合律即 (a X b) X c ≠ a X (b X c)从几何意义来讲两个矢量叉积的结果会得到一个同时垂直于这两个矢量的新矢量这个新矢量的模很好计算既可以通过模公式来得到也可以通过矢量a、b以及他们之间的夹角θ来得到对于新矢量的方向它可能存在两个完全相反的方向要确定具体哪个方向就要看使用的左手坐标系还是右手坐标系。要求a X b 新矢量的方向如果是左手坐标系伸直左手拇指微握其他四指指背与矢量a方向垂直四指弯曲方向朝矢量b靠拢这是拇指指向的方向就是新矢量的方向。同样地如果是右手坐标系则伸出右手按照同样的法则来判断方向。三矢量的混合积定义给定空间三矢量a、b、c,矢量a、b的矢量积a×b,再和矢量c作数量积(a×b)·c,矢量的混合积所得的数叫做三矢量a、b、c的混合积,记作(a,b,c)或(abc),即坐标表示存在互相垂直的n个模为一的矢量为及,若存在一组唯一的使,则的坐标表示为,记作